扫一扫，关注公众号 以下是关于高中排列与组合的系统性知识总结，结合权威资料和典型例题，帮助您掌握核心解题方法：
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一、核心概念与公式
1. 排列（A）：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按一定顺序排列。
- 公式：$A_n^m = n(n-1)(n-2)...(n-m+1) = frac{n!}{(n-m)!}$
- 例：5人排3人照相，有$A_5^3=60$种方式[7]。
2. 组合（C）：从n个元素中取m个为一组，不计顺序。
- 公式：$C_n^m = frac{A_n^m}{m!} = frac{n!}{m!(n-m)!}$
- 性质：$C_n^m = C_n^{n-m}$（如$C_5^2 = C_5^3=10$）[7]。
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二、六大解题策略与例题
1. 相邻问题（捆绑法）
- 方法：将相邻元素视为一个整体，再内部排列。
- 例：5人排队，甲乙必须相邻→捆绑为1个元素，共$4!×2!=48$种[1]。
2. 不相邻问题（插空法）
- 方法：先排其他元素，再将不相邻元素插入空隙。
- 例：6间教室选3间不相邻的→先排3间非检查教室，4个空位插3间，共$C_4^3×3!=24$种[1]。
3. 分组分配问题
- 平均分组：6本书分3堆（每堆2本）→$frac{C_6^2×C_4^2×C_2^2}{3!}=15$种（消除顺序影响）[1]。
- 非平均分组：7本书分3组（2,2,3）→$frac{C_7^2×C_5^2×C_3^3}{2!}=105$种[5]。
4. 特殊元素优先法
- 例：甲不值周一班→先排甲（从周二至周六选2天），再排乙丙→$C_5^2×C_4^2×C_2^2=60$种[6]。
5. 正难则反（排除法）
- 例：100件产品中6件次品，任取3件至少1件次品→$C_{100}^3 - C_{94}^3=18,424$种[6]。
6. 定序问题（除法处理）
- 例：5人排队，甲乙丙顺序固定→$frac{5!}{3!}=20$种[5]。
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三、易错点与技巧
1. 区分排列与组合：是否考虑顺序（如选班委是组合，排队是排列）[5]。
2. 避免重复计数：平均分组需除以组数的阶乘[1]。
3. 模型化思维：如“隔板法”解决相同元素分配（10个相同球分3箱→$C_{9}^2=36$种）[2][5]。
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四、典型题型归纳（参考学科网专题）[2]
- 数字问题：用0,1,2,3组成无重复四位偶数→分类讨论个位为0或2，共$2×3×2×1 + 2×2×2×1=20$种。
- 染色问题：四区域用3色涂，相邻不同色→分步计算，共$3×2×1×2=12$种[2]。
- 环排问题：5人围桌而坐→$(5-1)!=24$种（固定一人消除旋转对称性）[2]。
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参考资料
[1] 高中数学排列组合解题方法和策略（网易网）
[2] 2022新高考数学题型全归纳（学科网）
[5] 高中排列组合知识点及例题（金锄头文库）
[6] 排列组合四大原则（金锄头文库）
[7] 排列组合公式（瑞文网）
